如果$P*$是$P$的加细，那么

$$L(P,f,\alpha)\leq L(P^*,f,\alpha)$$

且

$$U(P^*,f,\alpha)\leq U(P,f,\alpha)$$

 

证明：这两个命题对于Riemann积分来说是显然成立的，之所以对于Riemann-Stieltjes积分也成立，是因为$\alpha$是$[a,b]$上的增函数的缘故.比方说，$m_3\geq m_2\geq m_1$时，我们有

$$(\max\{x_1,x_2\})(m_3-m_1)\geq x_1(m_2-m_1)+x_2(m_3-m_2)$$

而$m_3,m_2,m_1$在经过$\alpha$的作用之后，顺序关系是不变的.所以

$$(\max\{x_1,x_2\})(\alpha(m_3)-\alpha(m_1))\geq x_1(\alpha(m_2)-\alpha(m_1))+x_2(\alpha(m_3)-\alpha(m_2))$$

下面的那条式子同理.